電機繞組的齒諧波電勢

本文為西莫首席技術專家李保來老師（西莫ID：標準答案）原創文章，本期期刊西莫視角欄目收錄，并由西莫電子期刊主編hahafu整理發布以饗讀者

上期講了主極磁場分布不是正弦時產生的磁勢高次諧波。本期我們講另一種諧波電勢——齒諧波電勢。所謂齒諧波電勢就是諧波的次數與每極槽數有著特定關系的諧波電勢，根據上期講的“種瓜得瓜種豆得豆”理論，其實齒諧波電勢也是由于主極磁勢中存在著齒諧波磁勢引起的，只不過這種次數的諧波電勢被齒槽給“調制放大”了，為了說清楚齒諧波電勢被“調制放大”的機理，我們還是從任意υ次諧波電勢的幅值講起。

1 任意υ次諧波電勢的大小

1.1 任意υ次諧波磁勢產生的諧波磁場

上一期的(11)式講到，對于轉子主極任意一個υ次諧波磁勢所產生的磁場包括三種，現將上期的第(11)式的推導結果重新列出如下：

Bυ=Bυ0?sin(υ?ωt-υ?p?α)+∑Bυk?sin[υ?ωt-(k?Z+υ?p)α]+∑Bυk?sin[υ?ωt+(k?Z-υ?p)α] (1)

式中：Z為定子槽數；p為極對數；ω為轉子旋轉電角速度；k=1,2,3…；

Bυ0=Fυ?λ0 (2)

Bυk=(1/2)?Fυ?λk (3)

上述⑴式表明，任意一個υ次諧波磁勢都會在氣隙中產生三種諧波磁場：一是極對數為υ?p、轉向與轉子相同(順轉)、轉速為同步轉速的基本諧波磁場，(⑴式中第一項）；二是一系列極對數為k?Z+υ?p(k=1,2,3…)，轉速為n1?υ?p/(k?Z+υ?p)的順轉諧波磁場(⑴式中第二項和式）；三是一系列極對數為k?Z-υ?p，轉向或順轉或反轉、轉速為n1?υ?p/(k?Z-υ?p)的諧波磁場(⑴式中第三項和式）。雖然這些諧波磁場的極對數各不相同，轉速和轉向也各式各樣，但卻都在定子繞組中感應出相同頻率υ?f1的諧波電勢。接下來我們就分別對這三種磁場產生的諧波電勢進行解析計算，需要說明的是，這里用解析法計算純粹是為了分析影響諧波電勢大小的因素，以便后續講解削弱諧波電勢的機理，實際設計電機時還是建議用有限元進行定量仿真計算。

1.2 基本諧波磁場產生的υ次諧波電勢

基本諧波磁場的極對數為υ?p，轉速為n1，磁場幅值為Bυ0。感應出的諧波電勢頻率為υ?f1，諧波電勢有效值為：

Eυ0=4.44?υ?f1?Kdpυ?W?Φυ0(4)

Φυ0=(2/π)?Bυ0?τυ0?l (5)

τυ0=π?D/(2υ?p) (6)

式中：Φυ0為基本諧波磁場的每極磁通；τυ0為基本諧波磁場的極距；D為電樞直徑；l為鐵心長；W為每相串聯匝數；Kdpυ為υ次諧波繞組系數。將⑵、⑸、⑹式代入⑷式得：

Eυ0=4.44?υ?f1?Kdpυ?W?(2/π)?Fυ?λ0?π?D?l/(2υ?p)

=4.44?f1?(Kdpυ?W/p)?D?l?Fυ?λ0

=Ke?Kdpυ?Fυ?λ0(7)

式中：Ke=4.44?f1?W?D?l/p，對于已經制造完成的電機，在一定的轉速下(f1一定)，Ke為一常數。由⑺式可見，由基本諧波磁場產生的υ次諧波電勢與υ次諧波的繞組系數Kdpυ、υ次諧波的磁勢幅值Fυ以及氣隙平均磁導λ0成正比，要想削弱基本諧波磁場產生的諧波電勢，需要從這三個方面入手(后續會詳細講解削弱方法)。

1.3 極對數為k?Z+υ?p的諧波磁場產生的υ次諧波電勢

極對數為k?Z+υ?p的諧波磁場轉速為n1?υ?p/(k?Z+υ?p)，磁場幅值為Bυk。在繞組中同樣感應出頻率為υ?f1的諧波電勢，諧波電勢有效值為：

E′υk=∑【k=1,2,3…】4.44?υ?f1?Kdpυ?W?Φ′υk(8)

Φ′υk=(2/π)?Bυk?τ′υk?l (9)

τ′υk=π?D/[2(k?Z+υ?p)] (10)

式中：Φ′υk為極對數為k?Z+υ?p的諧波磁場的每極磁通；τ′υk為極對數為k?Z+υ?p的諧波磁場的極距。將⑶、⑼、⑽式代入⑻式并整理得：

E′υk=∑【k=1,2,3…】(1/2)?Ke?Kdpυ?Fυ?λk/[k?Z/(υ?p)+1]

=∑【k=1,2,3…】(1/2)?Ke?Kdpυ?Fυ?∑【k=1,2,3…】(λk?(υ?p)/(k?Z+υ?p)

=Ke?Kdpυ?Fυ?∑【k=1,2,3…】λk?ξ1

=Eυ0?∑【k=1,2,3…】(λk/λ0)?ξ1(11)

式中：

ξ1=(υ?p)/[2?(k?Z+υ?p)] (12)

由(11)式可見，極對數為k?Z+υ?p (k=1,2,3…)的一系列諧波磁場產生的υ次諧波電勢有效值，除了與υ次諧波的繞組系數Kdpυ、υ次諧波的磁勢幅值Fυ以及k階氣隙磁導λk成正比外，還與一個系數ξ1有關，由(12)式可見，這個系數ξ1＜1，且(λk/λ0)＜1，這就意味著這種極對數為k?Z+υ?p(k=1,2,3…)的一系列諧波磁場產生的諧波電勢是在基本諧波磁場產生的感應電勢的基礎上打了一個(λk/λ0)?ξ1的折扣。

1.4 極對數為k?Z-υ?p的諧波磁場產生的υ次諧波電勢

極對數為k?Z-υ?p的諧波磁場轉速為n1?υ?p/(k?Z-υ?p)，磁場幅值也為Bυk。在繞組中同樣感應出頻率為υ?f1的諧波電勢，諧波電勢有效值為：

E″υk=∑【k=1,2,3…】4.44?υ?f1?Kdpυ?W?Φ″υk(13)

Φ″υk=(2/π)?Bυk?τ″υk?l (14)

τ″υk=π?D/[2(k?Z-υ?p)] (15)

式中：Φ″υk為極對數為k?Z-υ?p的諧波磁場的每極磁通；τ″υk為極對數為k?Z-υ?p的諧波磁場的極距。將⑶、(14)、(15)式代入(13)式得：

E″υk=∑【k=1,2,3…】(1/2)?Ke?Kdpυ?Fυ?λk/[k?Z/(υ?p)-1]

=(1/2)?Ke?Kdpυ?Fυ?∑【k=1,2,3…】λk?(υ?p)/(k?Z-υ?p)

=Ke?Kdpυ?Fυ?∑【k=1,2,3…】λk?ξ2

=Eυ0?∑【k=1,2,3…】(λk/λ0)?ξ2 (16)

式中：

ξ2=(υ?p)/[2?(k?Z-υ?p)] (17)

由(16)式可見，極對數為k?Z-υ?p (k=1,2,3…)的一系列諧波磁場產生的υ次諧波電勢有效值，同樣是在基本諧波磁場產生的感應電勢的基礎上乘以一個系數(λk/λ0)?ξ2。但特別需要注意的是，對比(12)式和(17)式可見，對于任意諧波次數υ，ξ1總是小于1，這意味著對于第二種磁場產生的υ次諧波電勢總是在基本諧波磁場產生的諧波電勢基礎上打個折扣。而ξ2就不同了，由于其分母為2?(k?Z-υ?p)，當k?Z與υ?p很接近時，分母會很小，導致ξ2可能大于1，甚至ξ2遠大于1。這就意味著當k?Z與υ?p很接近時，第三種諧波磁場產生的諧波電勢不僅不是打個折扣，而是被放大了。后面會詳細講到，齒諧波次數就屬于這種情況，也就是說第三種磁場是導致齒諧波被“放大”的主要因素。

綜上所述，對于任意υ次諧波磁勢，在繞組中產生的υ次諧波電勢是上述三種諧波磁場分別產生的υ次諧波電勢之和。當然這三種諧波電勢還有相位問題，嚴格地說應該是三種諧波電勢的相量和，由于這里我們主要討論開槽對諧波電勢大小的影響，為了簡化分析，忽略掉它們的相位因素，近似地認為⑺、(11)、(16)三式之和即為總的諧波電勢，即：

Eυ≈Eυ0+E'υk+E"υk

=Eυ0+Eυ0?∑【k=1,2,3…】(λk/λ0)?ξ1 +Eυ0?∑【k=1,2,3…】(λk/λ0)?ξ2

=Eυ0?[1+∑【k=1,2,3…】(λk/λ0)?(ξ1+ξ2)]

=Ke?Kdpυ?Fυ?λ0?[1+∑【k=1,2,3…】(λk/λ0)?(ξ1+ξ2)] (18)

2 齒諧波電勢的特點

對同步電機的空載電勢進行諧波分析表明，電勢的高次諧波中以次數為k?Z/p±1=2kmq±1的諧波較強，式中：Z為定子槽數；p為極對數；m為相數；q為每極每相槽數；k=1,2,3…。特別是整數槽繞組(q為整數)、氣隙又比較小時，如果不采取有效措施，這種諧波會非常強，致使電勢波形出現嚴重鋸齒形畸變。

這種次數為k?Z/p±1次的齒諧波有兩個特點：一是這種諧波的次數與一對極下的槽數Z/p之間具有特定的關系；二是這種諧波的繞組系數正好與基波繞組系數相等。關于第一個特點從諧波次數上很明顯可以看出。關于第二個特點證明如下：

先求一階(k=1時)齒諧波的短距系數：

Kp(2mq±1)

=sin[(2mq±1)?(Y1/τ)?90o]

=sin[180o?Y1±(Y1/τ)?90o]

=±sin[(Y1/τ)?90o]

=±Kp1(19)

一階(k=1時)的分布系數：

Kd(2mq±1)

=sin[(2mq±1)?(q?α/2)]÷{q?sin[(2mq±1)?(α/2)]}

=sin(180o?q±q?α/2)÷[q?sin(180o±α/2)]

=±sin(q?α/2)÷[q?sin(α/2)]

=±Kd1(20)

以上兩式中Y1和τ均用槽數表示。

之所以稱這種諧波為齒諧波，是因為定子開槽引起的氣隙磁導以齒頻呈周期性變化所致。按照以上兩式同樣的方法，不難推導出所有的k?(Z/p)±1=k?2mq±1次諧波(式中k=1,2,3…)的繞組系數大小都與基波繞組系數大小相等，都具有上述兩個特點，因此我們把它們都稱為齒諧波。這樣，齒諧波的次數為：

υz=k?(Z/p)±1=k?2mq±1 (21)

式中k=1,2,3…等整數。當k=1時，υz=Z/p±1=2mq±1，稱為基本齒諧波或一階齒諧波；k=2時，υz=2?(Z/p)±1=4mq±1，稱為二階齒諧波；余類推。通常對于整數槽繞組，齒諧波的階次越低，諧波幅值越大。

3 產生齒諧波電勢的主要磁場的性質

如前所述，轉子主極任意一個υ次諧波磁勢所產生的磁場包括式⑴中的三種磁場。對于次數為υ=υz=k?(Z/p)±1的齒諧波磁勢，其產生的第一種磁場——基本齒諧波磁場感應的υ次諧波電勢Eυ0的計算方法和通常的空間諧波磁場磁場感應的諧波電勢計算方法相同，開槽只是對平均磁導λ0略有影響，由⑺式可見，對Eυ0大小的影響不大，不再贅述。這里重點要分析的是后兩種諧波磁場感應出的諧波電勢，即⑴式中的后兩項磁場和式感應的電勢。

先將諧波次數υ=υz=k?Z/p±1代入⑴式中的第二項和式中，得：

Bυ′=∑Bυk?sin[υ?ωt-(2k?Z±p)α] (22)

再將諧波次數υ=υz=k?Z/p±1代入⑴式中的第三項和式中，得：

Bυ″=∑Bυk?sin(υωt±pα) (23)

上述兩種諧波磁場都會在繞組中感應出頻率為υ?f1的高次諧波電勢，但對比(22)式和(23)式兩種諧波磁場的極對數和轉速，不難看出，(22)式所示諧波磁場的極對數為2k?Z±p，轉速為n1?υ?p/(2k?Z±p)，極對數很多，但轉速很慢，感應出的諧波電勢不會很高(因為轉速很慢)，因此這個諧波磁場是產生高次諧波電勢的次要因素，甚至可以忽略；再看(23)式所示諧波磁場，其極對數為p，轉速為±υ?n1，“±”號表示磁場的轉向，取“+”號時表示該諧波磁場轉向與基波轉向相反(反轉)，取“-”號時表示該諧波磁場轉向與基波轉向相同(順轉)。該諧波磁場的極對數與基波磁場極對數相同，但轉速卻為基波磁場轉速的υ倍，轉速很高，會在繞組中產生很高的諧波感應電勢，這是產生高次諧波電勢的最大“元兇”，又由于其諧波次數υ=k?Z/p±1與定子每極槽數有著特定的關系，是由于定子開槽引起的齒磁導諧波磁場，進而產生的非常強的諧波電勢，因此將這種次數的諧波電勢稱為齒諧波電勢，k=1時稱為一階齒諧波；k=2時稱為一階齒諧波；k=3時稱為一階齒諧波…余類推。

小結一下，對于次數為υ=k?Z/p±1的諧波磁勢，除了和其他諧波電勢一樣，產生一個同次數、與轉子同轉速的基本諧波磁場以外，由于定子開槽，還會調制出兩種(極對數分別為k?Z±υ?p)的齒磁導諧波磁場。其中基本諧波磁場在繞組中感應出的同次諧波電勢計算方法與其它普通的諧波磁場感應出的高次諧波電勢計算方法一樣，由于基本諧波磁場的轉速為同步轉速，因此感應出的電勢也與其它諧波磁場感應出的諧波電勢規律相同，沒有什么特別之處，大小只取決于本身諧波磁勢的大小和氣隙平均磁導大小，次數越高感應電勢越小。另外兩種極對數為(k?Z±υ?p)的齒磁導諧波磁場中，取“+”時，極對數變為k?Z+υ?p=2k?Z±p，極對數較多，轉速為n1?υ?p/(2k?Z±p)，轉速較慢，感應出的υ次諧波電勢較小，可以忽略；取“-”時，極對數變為p，與主極極對數相同，但轉速為±υ?n1，“±”號表示轉向不同，轉速是轉子轉速的υ倍，轉速很高，感應出的υ次諧波電勢極大，這種情況只發生在υ=k?Z/p±1這種特定次數的諧波磁勢上，因此稱其為齒諧波。

由此可見，每個齒諧波電勢都是主要由一個極對數與基波極對數p相等，但轉速是基波轉速υ倍的旋轉磁場產生的。

4 齒諧波電勢為什么那么大

以上分析可知，諧波電勢是由(18)式中的三種電勢組成。對于次數為υz=k?Z/p±1的齒諧波電勢，則主要是(18)式中的第三項E″υk最大，我們抓主要矛盾，忽略其它兩個磁場產生的齒諧波，只考慮(18)式中第三項，即近似認為齒諧波電勢：

Eυz≈E″υk=Ke?Kdpυ?Fυk?λk?ξ2(24)

對齒諧波：

ξ2=(υz?p)/[2?(k?Z-υz?p)]=±(1/2)υz (25)

Kdpυ=Kdp1 (26)

將(25)、(26)式代入(24)式得：

Eυz≈E″υk

=±(1/2)Ke?Kdp1?Fυk?υz?λk

=±(1/2)Ke?Kdp1?F1?λk (27)

式中：對于已經制造完成的電機在一定的轉速下(f1一定)，Ke為一常數；F1=Fυk?υz為基波磁勢幅值。

由(25)、(26)、(27)式可見，齒諧波電勢之所以強大，主要原因有兩個：一是因為齒諧波的繞組系數很高，與基波繞組系數相等；二是齒諧波的ξ2很大，相當于齒槽把齒諧波電勢“放大”了。

由(27)式可見，各階齒諧波電勢的大小近似與該階齒磁導諧波的幅值λk成正比，由于階次越高齒磁導的幅值越小，一階齒磁導的幅值遠大于二階、三階的齒磁導幅值，即：λ1＞＞λ2＞＞λ3…，因此一階齒諧波電勢最大，二階比一階會小很多，三階更小…，因此次數為Z/p±1的兩個一階齒諧波電勢最大，設計電機時必須采取措施來削弱它。另外由于各階齒諧波的繞組系數的絕對值都與基波繞組系數相等，因此不能靠減小繞組系數來削弱齒諧波電勢，否則基波電勢也會等比例削弱。

以上從任意諧波電勢入手，分析了齒諧波電勢的特點和產生齒諧波電勢的主要磁場的性質，進而指出了齒諧波電勢之所以強大的原因。本期的講解中又整出了一大堆令同學們頭疼的數學推導公式，如果你嫌煩可以跳過不看，重點記住文中紅色突出顯示內容即可，不過如果你有時間，還是溫馨建議你慢慢消化一下那些公式，對深入理解齒諧波電勢有好處。

再次特別強調的是：按照上一期講的“種瓜得瓜種豆得豆”結論，電勢中的齒諧波必然是主極勵磁磁勢中包含了這種齒諧波次數的諧波磁勢引起，只不過經過齒磁導諧波的“調制”，使得這種次數的諧波電勢得到了“放大”，因此才在電勢中含量較強。如果主極勵磁磁勢中不包含這種次數的齒諧波磁勢，那么電勢中也必然不會存在齒諧波電勢。因此齒諧波并不是因定子開槽而憑空多出來的諧波，而是首先要有勵磁磁勢的齒諧波“基因”作為“種子”，齒槽只是專門把它“挑出來”“孕育培養”，讓它“長大”。從這個意義上來說，可以說勵磁磁勢是齒諧波的“粑粑”，而齒槽則是齒諧波的“嫲嫲”。之所以叫“齒諧波”，主要是因為它與齒槽有著千絲萬縷的聯系：一是它與齒槽“嫲嫲”有特殊的“親近”關系，特別招“嫲嫲”“待見”；二是它的“基因”里的繞組系數天然與“基波老大”相同，“贏在了起跑線”上，具有很大的“培養價值”，齒槽“嫲嫲”當然就容易選中它，最終把它“溺愛”成了最大的“逆子”！

其實齒諧波的大小還與轉子上的阻尼繞組有關，如果阻尼繞組設計不當，會使齒諧波電勢更加放大，如果您對李老師的文章還意猶未盡，歡迎5月27日-29日來無錫參加“電機NVH問題的機理及測試仿真”研修班，聽西莫首席技術專家通解電機NVH問題機理，教您如何更好地設計電機！

審核編輯：湯梓紅